Transformaciones Tridimensionales

definición de transformaciones tridimensionales

Las transformaciones de los objetos, son la Posición, la Rotación y la Escala.

Determinan la ubicación en el la escena mediante coordenadas trigonométricas en los ejes de coordenadas  x, y y z. Se refieren a todo el objeto.  La manera más fácil de conseguir las transformaciones básicas (traslación, rotación, estalación, en general las transformaciones afines) es utilizando matrices de transformación.

MÉTODO DE TRASLACIÓN

En una representación coordenada homogénea tridimensional, un punto es trasladado de la posición (x,y,z) a la posición  (x’,y’,z’) con la Operación matricial.

[x´,y´,z´,1]=[x, y, z, 1]

Los parámetros Tx, Ty, Tz, que especifican distancias de traslación para las coordenadas, reciben la asignación  de cualquier valor real. La representación matricial de la ecuación 11.1 es equivalente a las tres ecuaciones

        x’ =x + Tx,   y’ = y + Ty,  z’ =z + Tz

Un objetivo se traslada en tres dimensiones transformando cada punto definidor del objeto. La traslación de un objeto representada como un conjunto de superficies poligonales se efectúa trasladando los valores coordenados para cada vértice de cada superficie. El conjunto de posiciones coordenadas trasladadas de los vértices define entonces la nueva posición del objeto.

MÉTODO DE ESCALACIÓN

Extendiendo la idea anterior a 3D, el escalamiento implica el cambio de tamaño de un poliedro, donde cada punto  p = (x1, x2, x3)  es transformado por la multiplicación de tres factores de escalamiento: s1, s2 y s3 a lo largo de los ejes X1, X2 y X3 respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto  p' = (x1 ', x2 ', x3 ' ) se obtienen como:

                                  x1 ' = x1 ⋅ s1

                                  x2 ' = x2 ⋅ s2

                                  x3 ' = x3 ⋅ s3

 

Sea   s = (s1 , s2 , s3 )   el  vector  de  factores  de  escalamiento,  y  S(s)  la  matriz  de escalamiento, en coordenadas homogéneas el escalamiento de un punto p en 3D se puede expresar como el producto matricial  p' = p ⋅ S (s) , es decir:

muestra el efecto de escalamiento de una figura con s1 = 2, s2 = 2.5  y s3 = 1.5.

MÉTODO DE Rotación

Se utiliza una matriz ortogonal de tercer orden para representar la transformación de rotación, que es el método más utilizado. Es fácil demostrar que el grado de libertad de la matriz ortogonal de tercer orden es 3. Tenga en cuenta que su determinante debe ser igual a 1. Cuando es igual a -1, es equivalente a una transformación espejo.

 El ángulo de Euler se transforma en matriz de rotación

Puede ser mejor rotar γ alrededor del eje Z, luego β alrededor del eje Y, y finalmente rotar α alrededor del eje X, es decir, el orden de rotación es XYZ y la matriz de rotación

eje de rotación / ángulo de rotación

Una rotación está representada por el vector de dirección n del eje de rotación y el ángulo de rotación θ, donde

θ> 0 significa rotación en sentido antihorario.

 eje de rotación / ángulo de rotación transformado en matriz de rotación

Deje v ser cualquier vector, defina

Como se muestra a continuación

De esta forma, establecimos un sistema de coordenadas rectangulares.。

Sea u el vector obtenido al girar v alrededor del eje, luego

 

R es la matriz de rotación. Se puede expresar además como

 

Sesgado

El sesgado es un tipo de transformación no rígida, pues existe una deformación del objeto original al aplicar dicha transformación. Existen dos tipos de sesgo: sesgo horizontal y sesgo vertical. 

Sesgo horizontal. Las coordenadas adyacentes al eje x permanecen fijas, los valores de y no cambian. 

Sesgo vertical. Las coordenadas adyacentes al eje y permanecen fijas, los valores de x no cambian. 

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